Resultaten Thesissen 2004-2005

3D-Simulatie van elektromagnetische golven met wavelets - Bart Vandereycken

Het verstrooiingsprobleem

Een belangrijk fysisch probleem is de weerkaatsing van golven op obstakels, denk bijvoorbeeld aan radargolven die weerkaatst worden op het oppervlak van een vliegtuig. Gegeven de uitgezonden straling en de vorm en positie van het vliegtuig, wat is de weerkaatsing? Of iets moeilijker: gegeven de weerkaatsing, wat is de positie van het vliegtuig? En het type?

In dit eindwerk hebben we het eerste probleem behandeld: hoe verstrooit een voorwerp in de ruimte een invallende golf. Deze golven kunnen we beschrijven met de golfvergelijking.

$\displaystyle \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} + \gamma \frac{\partial U}{\partial t} - c^2 \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = 0$

Om het probleem tijdsonafhankelijk (en eenvoudiger) te maken, veronderstellen we enkel de evenwichtsoplossing. Hiervoor kunnen we de Helmholtz-vergelijking gebruiken.

$\displaystyle \nabla^2 u+k^2 u$

In de onderstaande figuren zien we twee toepassingen met een auto als obstakel. Zowel elektromagnetische golven als geluidsgolven kunnen met dezelfde vergelijking beschreven worden.


akoestiek in een auto, bron: Dep. Mechanica	EM veld door een dipool

De integraalvergelijking op de rand

Om de verstrooiing te zoeken, kunnen we de Helmholtz-vergelijking herformuleren als een integraalvergelijking op de rand Gamma van het obstakel.

$\displaystyle u(\mathbf{x}) = \int_{\Gamma}K(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \rho(\mathbf{y}) d\mathbf{y} = f(\mathbf{x}), \qquad \mathbf{x} \in \Gamma$

Hierin is

de onbekende dichtheidsfunctie en f(x)

een gegeven randvoorwaarde. In plaats van de golf u(x)

rechtstreeks te zoeken, lossen we dus eerst naar rho(x)

op. Op die manier beperken we het probleem tot twee dimensies, alhoewel we toch een driedimensioneel obstakel hebben. Een veel gebruikte techniek om deze vergelijking op te lossen is de eindige elementen methode. Omdat het oplossingsdomein de rand is, noemen we dit ook de Boundary Element Method (BEM).

De rand

Slechts weinig obstakels hebben een rand waarvoor een eenvoudige wiskundige uitdrukking bestaat. In de praktijk wordt de rand van echte obstakels benaderd door driehoekjes en/of vierhoekjes. Zo zal de rand opgedeeld worden in kleinere delen, die dan elk kunnen beschreven worden met een eenvoudige paramatrisatie, b.v. veeltermen of splines. Als bijkomend voordeel kunnen we elk vlakje nog eens opdelen in kleinere vlakjes. Op die manier bekomen we een verfijning van het rooster. In ons geval hebben we de torus en de bol als obstakels gebruikt met een opdeling in vierhoekjes.


Een torus uit 1 opgedeeld vlakje	Een bol uit 6 opgedeelde vlakjes

De basisfuncties

De keuze van de basisfuncties als randelementen is heel belangrijk om het stelsel dat BEM geeft, snel te kunnen oplossen. De klassieke basis van tentfuncties heeft als nadeel dat het stelsel vol en slecht geconditioneerd is. Gelukkig bieden wavelets een oplossing. Deze functies worden in veel onderzoeksdomeinen toegepast, zoals beeldcompressie, als opvolger van de Fourieranalyse. Het voordeel om wavelets als randelementen te gebruiken, is dat de matrix quasi-ijl wordt (zie volgend punt voor meer).

Deze waveletfuncties hebben in tegenstelling tot een Fourierbasis (sinus en cosinus) een beperkt interval waarop ze niet nul zijn. Zo zie je in de figuur enkele basisfuncties afgebeeld. Hierin zie je ook dat de indeling van de rand in vierhoekjes gebruikt wordt om de basisfuncties te definieren in het parameterdomein.

Een waveletbasis op de torus en in het parameterdomein

De compressie

In de onderstaande figuur zien we het verschil tussen de matrix opgesteld in een klassieke basis en in een waveletbasis. De matrix met de waveletbasis is quasi-ijl. Dit wil zeggen dat veel elementen heel klein zijn. Naar analogie met de beeldcompressie, spreken we hier van een a-priori compressie van de matrix. Net zoals een JPEG-afbeelding veel kleiner is dan een BMP, kunnen we nu deze kleine elementen verwaarlozen zonder dat de oplossing van het stelsel te veel wordt beïnvloed. Als we de convergentie in de grafiek uitzetten, merken we inderdaad dat de invloed beperkt blijft.

Discretisatiematrices voor de torus

Aantal niet-nulelementen

Door deze a-priori compressie hoeven we niet alle matrixelementen uit te rekenen. Dit is een hele besparing t.o.v. de klassieke basis. Het aantal elementen dat zo nog te berekenen valt is zelfs maar O(n) . Het oplossen van het stelsel zal iteratief gebeuren voor grote problemen. Ook dan is een ijle matrix een groot voordeel.

De integratie

De elementen van de matrix moeten alsvolgt berekend worden:

Deze integralen zijn niet eenvoudig te berekenen, bovendien zijn sommigen zelfs singulier. Daarom zullen ze numeriek benaderd moeten worden. De integrand wordt dan in een aantal punten geevalueerd en aan de hand van die waarden wordt de integraal geschat. Hieronder zie je een voorbeeld van deze punten.

Samples voor het schatten van de integraal

Conclusie

Het oplossen van de randintegraalvergelijking met wavelets en BEM laat ons toe op een efficiente manier de verstrooiing van golven te simuleren. Zoals uit de grafiek hieronder blijkt, wordt de convergentie niet verstoord door de waveletcompressie alhoewel de berekeningen veel vlugger kunnen gebeuren dan in de klassieke basis.

Convergentie: klassiek en met wavelets

Contact: Bart Vandereycken

Taakbalk

Navigatie

Home